从1,2,…,2008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1004个数中的任意两数之和都不等于2009.则这1004个数的平方和等于

Question

从1,2,…,2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之
和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于

Answer 1

将1,2,…,2 008分成1 004组：
{1,2 008},{2,2 007},…,{1 004,1 005}.
设第i组选出的数是a(i),未选出的是b(i).则有
∑a(i)=1009000
∑b(i)=(1+2+···[phone]=1008036
∑[a(i)²+b(i)²]=(1²+2²+···+2008²)=(1/6)*2008*2009*4017=2700811204
∑[a(i)²-b(i)²]=Σ[a(i)+b(i)][a(i)-b(i)]
=2009Σ[a(i)-b(i)]
=2009*(1009000-1008036)=1936676
两式相加乘1/2得∑a(i)²=1351373940.