如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC边上，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，作DF⊥BC交AB于点F．（1）求证：AB⊥BE；（2）若AC=8，DF=3，求BE的长．

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC边上，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，作DF⊥BC交AB于点F．

（1）求证：AB⊥BE；
（2）若AC=8，DF=3，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：作EH⊥BC于H，如图，
∵AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，
∴∠ADE=90°，DA=DE，
∴∠ADC+∠EDH=90°，
而∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠EDH=∠DAC，
在△ACD和△DHE中

∠C=∠H

∠DAC=∠EDH

AD=DE

，
∴△ACD≌△DHE，
∴AC=DH，CD=EH，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∵AC=BC=DH，
∴CD=BH，
∴BH=EH，
∴△BEH为等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°，
∴∠ABE=90°，
∴AB⊥BE；
（2） ∵DF⊥BC，∠FBD=45°，
∴△DBF为等腰直角三角形，
∴BD=DF=3，
∵BC=AC=8，
∴CD=5，
由（1）得EH=CD=5，△BEH为等腰直角三角形，
∴BE=√(2)EH=5√(2)．