如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：△ABM≌△BCP；（2）求证：四边形BMNP是平行四边形

Question

如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．

（1）求证：△ABM≌△BCP；
（2）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（3）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC满足怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
在△ABM和△BCP中，

AB=BC

∠ABC=∠C

CP=BM

，
∴△ABM≌△BCP（SAS）．
（2）∵△ABM≌△BCP，
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN
∴MN∥BP，
∴四边形BMNP是平行四边形；
（3）BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠ABC=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴(AB)/(MC)=(AM)/(MQ)，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴(AB)/(BM)=(AM)/(MQ)，
∴(AB)/(MC)=(AB)/(BM)，
∴BM=MC．