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如果对于任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内,则f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称函数f(x)为“保三角形函数”.现有下列五个

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如果对于任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内,则 f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称函数f(x)为“保三角形函数”.现有下列五个函数:
①f(x)=2x;
②f(x)=e x
③f(x)=x 2
④f(x)=
x

⑤f(x)=sinx.
则其中是“保三角形函数”的有______.(写出所有正确的序号)
▼优质解答
答案和解析
任给三角形,设它的三边长分别为a,b,c,则a+b>c,不妨假设a≤c,b≤c,
对于①,f(x)=2x,由于f(a)+f(b)=2(a+b)>2c=f(c),所以f(x)=2x是“保三角形函数”.
对于②,f(x)=e x ,设a=b=2,c=3,a、b、c能构成三角形的三边
因为f(a)=f(b)=e 2 ,f(c)=e 3 ,而f(a)+f(b)=2e 2 <e 3 =f(c)
所以f(a)、f(b)、f(c)不能构成三角形的三边,故f(x)=e x 不是“保三角形函数”.
对于③,f(x)=x 2 ,3,3,5可作为一个三角形的三边长,但3 2 +3 2 <5 2
不存在三角形以3 2 ,3 2 ,5 2 为三边长,故f(x)=x 2 不是“保三角形函数”.
对于④,f(x)=
x
,由a+b>c,可得a+2
ab
+b>c
两边开方得
a
+
b
c
,因此函数f(x)=
x
是“保三角形函数”.
对于⑤,对于f(x)=sinx,记a=2π,b=3π,c=5π,
则f(a)=f(b)=f(c)=0,不满足f(a)+f(b)>f(c)
所以f(x)=sinx,不是“保三角形函数”.
故答案为:①④
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