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如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数”.(1)判断下列函数是不
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如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数”.
(1)判断下列函数是不是“保三角形函数”,并证明你的结论:
①f(x)=
; ②g(x)=sinx (x∈(0,π)).
(2)若函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数,求M的最小值.
(1)判断下列函数是不是“保三角形函数”,并证明你的结论:
①f(x)=
x |
(2)若函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数,求M的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)设0<a≤b≤c,a+b>c,欲证明
+
>
,
只需证明 a+b+2
>c,成立.①是“保三角形函数”;
取 a=
,b=
,c=
,而sinb+sinc=sina,②不是“保三角形函数”;
(2)M的最小值为2
(i)首先证明当M≥2时,函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数.
对任意一个三角形三边长a,b,c∈[M,+∞),且a+b>c,b+c>a,c+a>b,
则h(a)=lna,h(b)=lnb,h(c)=lnc.
因为a≥2,b≥2,a+b>c,所以(a-1)(b-1)≥1,所以ab≥a+b>c,所以lnab>lnc,
即lna+lnb>lnc.
同理可证明lnb+lnc>lna,lnc+lna>lnb.
所以lna,lnb,lnc是一个三角形的三边长.
故函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞),M≥2),是保三角形函数…13分
(ii)其次证明当0<M<2时,H(X)=LNX (x∈[M,+∞))不是保三角形函数,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函数
因为0<M<2,所以M+M=2M>M2,所以M,M,M2是某个三角形的三条边长,
而lnM+lnM=2lnM=lnM2,所以lnM,lnM,lnM2不能为某个三角形的三边长,所以h(x)=lnx 不是保三角形函数.
所以,当M<2时,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函数.
综上所述:M的最小值为2
a |
b |
c |
只需证明 a+b+2
ab |
取 a=
π |
2 |
5π |
6 |
5π |
6 |
(2)M的最小值为2
(i)首先证明当M≥2时,函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数.
对任意一个三角形三边长a,b,c∈[M,+∞),且a+b>c,b+c>a,c+a>b,
则h(a)=lna,h(b)=lnb,h(c)=lnc.
因为a≥2,b≥2,a+b>c,所以(a-1)(b-1)≥1,所以ab≥a+b>c,所以lnab>lnc,
即lna+lnb>lnc.
同理可证明lnb+lnc>lna,lnc+lna>lnb.
所以lna,lnb,lnc是一个三角形的三边长.
故函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞),M≥2),是保三角形函数…13分
(ii)其次证明当0<M<2时,H(X)=LNX (x∈[M,+∞))不是保三角形函数,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函数
因为0<M<2,所以M+M=2M>M2,所以M,M,M2是某个三角形的三条边长,
而lnM+lnM=2lnM=lnM2,所以lnM,lnM,lnM2不能为某个三角形的三边长,所以h(x)=lnx 不是保三角形函数.
所以,当M<2时,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函数.
综上所述:M的最小值为2
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