小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG=FH”经过思考，大家给出

题目详情

小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形ABCD ，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG = FH” 经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N ；（乙）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N ；小杰和他的同学顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索。 ……

（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图8）；

（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB =2，BC =3（如图9），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为

（如图10），试求EG的长度。

▼优质解答

答案和解析

（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作 AN∥EG交CD的延长线于点N

                   ∴AM=HF AN=EG
                   ∵正方形ABCD          ∴AB=AD ∠BAD=∠ADN=90°
                    ∵EG⊥FH
                    ∴∠NAM=90° ∴∠BAM=∠DAN
                   在△ABM和△ADN中 ∠BAM=∠DAN   AB=AD   ∠ABM=∠ADN
                ∴△ABM≌△ADN        ∴ AM=AN 即EG=FH
（2）结论：EG：FH=3：2
           证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作 AN∥EG交CD的延长线于点N

                      ∴AM=HF      AN=EG
                       ∵长方形ABCD          ∴AB=AD ∠BAD=∠ADN=90°
                       ∵EG⊥FH                  ∴∠NAM=90° ∴∠BAM=∠DAN
                        ∴△ABM∽△ADN            ∴

∵AB=2 BC=AD=3 ∴

(3) 过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，
∵AB=1 AM=FH=

∴在Rt△ABM中，

                 将△AND绕点A旋转到△APB
                   ∵ EF与FH的夹角为45° ∴ ∠MAN=45°
                   ∴∠DAN+∠MAB=45° 即∠PAM=∠MAN=45°     从而 △APM ≌ △ANM ∴PM=NM
                   设DN = x，则