若二面角α-L-β的大小为π3，此二面角的张口内有一点P到α、β的距离分别为1和2，则P点到棱l的距离是（）A.2213B.2C.27D.23

Question

若二面角α-L-β的大小为(π)/(3)，此二面角的张口内有一点P到α、β的距离分别为1和2，则P点到棱l的距离是（　　）
A. (2√(21))/(3)
B. 2
C. 2√(7)
D. 2√(3)

Answer 1

设过P，C，D的平面与l交于Q点． 　　
由于PC⊥平面α，l⊂平面M，则PC⊥l，
同理，有PD⊥l，∵PC∩PD=P，
∴l⊥面PCQD于Q．
又 DQ，CQ，PQ⊂平面PCQD
∴DQ⊥l，CQ⊥l．
∴∠DQC是二面角α-l-β的平面角．
∴∠DQC=60°
且PQ⊥l，所以PQ是P到l的距离．
在平面图形PCQD中，有∠PDQ=∠PCQ=90°
∴P、C、Q、D四点共圆，也为△PDC的外接圆，且PQ是此圆的直径．
在△PCD中，∵PC=1，PD=2，∠CPD=180°-60°=120°，
由余弦定理得 CD²=1+4-2×1×2×（-(1)/(2)）=3，CD=√(3)
在△PDC 中，根据正弦定理(CD)/(sin∠CPD)=2R=PQ，代入数据得出PQ=2
∴点P到直线l的距离为2
故选：B．