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(2014•广安三模)已知A、B是椭x22+y2=1上的两点,且AF=λFB,其中F为椭圆的右焦点.(1)当λ=2时,求直线AB的方程;(2)设M(54,0),求证:当实数λ变化时MA•MB恒为定值.
题目详情
(2014•广安三模)已知A、B是椭
+y2=1上的两点,且
=λ
,其中F为椭圆的右焦点.
(1)当λ=2时,求直线AB的方程;
(2)设M(
,0),求证:当实数λ变化时
•
恒为定值.
x2 |
2 |
AF |
FB |
(1)当λ=2时,求直线AB的方程;
(2)设M(
5 |
4 |
MA |
MB |
▼优质解答
答案和解析
(1)由已知条件知,直线AB过椭圆右焦点F(1,0).
又直线AB不与x轴重合时,
设AB:x=my+1,代入椭圆方程,并整理得(2+m2)y2+2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由根与系数的关系得y1+y2=
,y1y2=
.
又由
=2
,得-y1=2y2,
所以y1=
,y2=
.
于是
=
,解之得m=±
.
故直线AB的方程为x±
y−1=0.(7分)
(2)证明:
又直线AB不与x轴重合时,
设AB:x=my+1,代入椭圆方程,并整理得(2+m2)y2+2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由根与系数的关系得y1+y2=
−2m |
2+m2 |
−1 |
2+m2 |
又由
AF |
FB |
所以y1=
−4m |
2+m2 |
2m |
2+m2 |
于是
−8m2 |
(2+m2)2 |
−1 |
2+m2 |
| ||
7 |
故直线AB的方程为x±
| ||
7 |
(2)证明:
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