已知椭圆中心在原点,左焦点F(-根号3,0),右顶点D(2,0),设A(1,1/2),过原点O的直线交椭圆交于B、C两点,求△ABC的面积的最大值

Question

已知椭圆中心在原点,左焦点F(-根号3,0),右顶点D(2,0),设A(1,1/2),过原点O的直线交椭
圆交于B、C两点,求△ABC的面积的最大值

Answer 1

我的答案是2倍根号2
设直线BC：y=kx,与椭圆方程x^2+4 y^2=4联立,消去y,一般式为(4 k^2+1)x^2-4=0,得到BC=[根号（k^2+1)]*
|x2-x1|=[4*根号(k^2+1)]/根号（4k^2+1) ,这是底,高用点A到直线距离公式计算,得到h=4(|k-1/2|)/根号（k^2+1),面积的平方就为[BC*h/2]^2=4*（4 k^2-4k-1)/(4 k^2+1),2次除以2次的最值用判别式求范围,令m=4 k^2-4k-1)/(4 k^2+1),移项一般式为（4m-4)k^2-4k+(m-1)=0,判别式=-16 m^2+32m》0 ,0《m《2(别忘记我是为了简便计算而算面积的平方,而且前面的系数4没有用m换掉,所以最大面积为根号（4*2）=2*根号2,此时k为-1/2,就是直线BC为y=-1/2x