已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=a2c（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆

Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=(a2)/(c)（a为长半轴，c为半焦距）上．
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（1）又由点M在准线上，得(a2)/(c)＝2
故(1+c2)/(c)＝2，∴c=1，从而a＝√(2)
所以椭圆方程为(x2)/(2)+y2＝1；
（2）以OM为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-t）=0
即(x−1)2+(y−(t)/(2))2＝(t2)/(4)+1
其圆心为(1，(t)/(2))，半径r＝√((t2)/(4)+1)
因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2
所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d＝√(r2−1)=(t)/(2)
所以(|3−2t−5|)/(5)＝(t)/(2)，解得t=4
所求圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5
（3）设N（x₀，y₀），则

FN

＝(x0−1，y0)，

OM

＝(2，t)

，

MN

＝(x0−2，y0−t)，

ON

＝(x0，y0)

，
∵

FN

⊥

OM

，∴2（x₀-1）+ty₀=0，∴2x₀+ty₀=2，
又∵

MN

⊥

ON

，∴x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
∴x₀²+y₀²=2x₀+ty₀=2，
所以|

ON

|＝√(x02+y02)＝√(2)为定值．