已知椭圆（x*2/a*2）+（y*2/b*2）=1（a>b>0)的两个焦点分别为F1（-1,0）F2（1,0）,点P在椭圆上,且满足/PF1/=2/PF2/,角PF1F2=30°,直线y=kx+m与圆x*2+y*2=6/5相切,与椭圆相交于A,B两点.证明角AOB为定值（O为坐标

Question

已知椭圆（x*2/a*2）+（y*2/b*2）=1（a>b>0)的两个焦点分别为F1（-1,0）F2（1,0）,点P在椭圆上,且满足/PF1/=2/PF2/,角PF1F2=30°,直线y=kx+m与圆x*2+y*2=6/5相切,与椭圆相交于A,B两点.证明角AOB为定值（O为坐标原点）

Answer 1

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0)的两个焦点分别为F₁(-1,0）F₂（1,0）,点P在椭圆上,且满足︱PF₁︱=2︱PF₂︱,∠PF₁F₂=30°,直线y=kx+m与圆x²+y²=6/5相切,与椭圆相交于A,B两点.证明∠AOB为定值（O为坐标原点）
c=1,︱F₁F₂︱=2C=2,设︱PF₂︱=m,则︱PF₁︱ =2m,在△PF₁F₂中使用余弦
定理,得m²=4m²+4-2×2m×2cos30°=4m²+4-4(√3)m
故得3m²-4(√3)m+4=[(√3)m-2]²=0,∴m=2/√3=(2/3)√3.
于是得2a=︱PF₁︱+︱PF₂︱=m+2m=3m=3×(2/3)√3=2√3,故a=√3,a²=3,b²=a²-c²=2；
∴椭圆方程为x²/3+y²/2=1 .(1)
直线y=kx+m是圆x²+y²=6/5的切线,故圆心(0,0）到直线kx-y+m=0的距离
d=︱m︱/√(1+k²)=√(6/5)
平方去根号得m²/(1+k²)=6/5,即有5m²=6(1+k²),5m²-6k²=6.(2)
将直线方程y=kx+m代入椭圆方程得x²/3+(kx+m)²/2=1,展开整理得：
(2+3k²)x²+6kmx+3m²-6=0
设A(x₁,y₁)；B (x₂,y₂)；那么按韦达定理：
x₁+x₂=-6km/(2+3k²)； x₁x₂=(3m²-6)/(2+3k²)；
y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k(x₁+x₂)+2m=-6k²m/(2+3k²)+2m=4m/(2+3k²)
y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²=k²(3m²-6)/(2+3k²)-6k²m²/(2+3k²)+m²
=(3k²m²-6k²-6k²m²+2m²+3k²m²)/(2+3k²)=(2m²-6k²)/(2+3k²)
向量的数量积OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=(3m²-6)/(2+3k²)+(2m²-6k²)/(2+3k²)=(5m²-6k²-6)/)2+3k²),
由(2)可知：5m²-6k²-6=0,∴恒有OA•OB=0,即恒有OA⊥OB,也就是恒有∠AOB=90°.
于是命题得证.