已知椭圆x^2/9+y^2/5=1,过右焦点f做不垂直于x轴的弦交椭圆于A、B两点,A、B的垂直平分线交x轴于N,则NF:AB=3.如果不用特殊值如何计算

Question

已知椭圆x^2/9+y^2/5=1,过右焦点f做不垂直于x轴的弦交椭圆于A、B两点,A、B的垂直平分线交x轴于N,则NF:AB=
3.如果不用特殊值如何计算

Answer 1

比较经典的带点法：
F点坐标（2,0）
设AB方程为y=k（x-2）
A,B坐标设为（x1,y1）和（x2,y2）,AB的中点P（X3,Y3）代入椭圆方程有：
x1^2/9+y1^2/5=1
x2^2/9+y2^2/5=1
两式相减得,（x1+x2）（x1-x2）/9+（y1+y2）（y1-y2）/5=0
由于（y1-y2）/（x1-x2）=k,X3=(X1+X2)/2,Y3=(Y1+Y2)/2
有,X3/9+k*Y3/5=0
而P点在AB上,即y3=k（x3-2）
联立以上两式,解出X3,Y3关于K的表达式,计算过程不写了,
然后列出NP的方程,解出N点坐标,可求NF的长度
由椭圆的几何定义,可由P到准线的距离算出AB的长度
我算的结果为4：9
也许有更简便方法吧.十年前学的东西.
4：9