已知椭圆的两焦点为F1(0，－1)、F2(0，1)，直线y=4是椭圆的一条准线.(1)求椭圆方程；(2)设点P在椭圆上，且|PF1|－|PF2|=1，求tan∠F1PF2的值.

Question

已知椭圆的两焦点为 F ₁ (0，－1)、 F ₂ (0，1)，直线 y =4是椭圆的一条准线.
(1)求椭圆方程；
(2)设点 P 在椭圆上，且| PF ₁ |－| PF ₂ |=1，求tan∠ F ₁ PF ₂ 的值.

Answer 1

(1) 椭圆方程为 + =1.
(2)

本题考查椭圆的基本性质及解题的综合能力.
(1)设椭圆方程为 + =1( a > b >0).
由题设知 c =1， =4,∴ a ² =4, b ² = a ² － c ² =3.
∴所求椭圆方程为 + =1.
(2)由(1)知 a ² =4, a =2.
由椭圆定义知| PF ₁ |+| PF ₂ |=4，又| PF ₁ |－| PF ₂ |=1,
∴| PF ₁ |= ，| PF ₂ |= .
又| F ₁ F ₂ |=2 c =2,
由余弦定理cos∠ F ₁ PF ₂ = = = .
∴tan∠ F ₁ PF ₂ = = = .