如图所示,F是椭圆的左焦点,P是椭圆上一点,PF⊥x轴,OP∥AB,求椭圆的离心率.

Question

如图所示,F是椭圆的左焦点,P是椭圆上一点,PF⊥x轴,OP∥AB,求椭圆的离心率.

Answer 1

e= = .

解法一:设椭圆方程 =1(a>b>0),则k _AB =- .
∵OP∥AB,∴直线OP的方程为y=- x.
又PF⊥x轴,∴P点的坐标为(-c, ).
而P在椭圆上,∴ =1.∴2e ² =1.
∴e= .
解法二:设椭圆方程为 =1(a>b>0),则P(-c, ).
又OP∥AB,∴Rt△OPF∽Rt△ABO.
∴ ,即 ,即 = .
∴b=c.∴a= c.∴e= = .