A、B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的长轴的两个端点,过其右焦点F做长轴的垂线与椭圆的一个交点为M,若sin∠AMB=3√10/10,椭圆的离心率为

Question

A、B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的长轴的两个端点,过其右焦点F做长轴的垂线与椭圆的一个交点为M,若sin∠AMB=3√10/10,椭圆的离心率为

Answer 1

设半焦距为c,则M点横坐标为c,代入椭圆方程解得y²=b^4/a²,所以|MF|=|y|=b²/a,直角三角形AMF中,|AF|=(a+c),
|AM|=√(|AF|²+|MF|²)=√[(a+c)²+b^4/a²]
同理可得：|BM|=√[(a-c)²+b^4/a²]
△AMB面积S=sin∠AMB*|AM|*|BM|/2=|MF|*|AB|/2
所以(3√10/10)√[(a+c)²+b^4/a²]√[(a-c)²+b^4/a²]=(b²/a)2a=2b²=2(a²-c²)
两边平方得：(9/10)[(a+c)²+(a²-c²)²/a²][(a-c)²+(a²-c²)²/a²]=4(a²-c²)²
两边同除以a^4:(9/10)[(1+e)²+(1-e²)²][(1-e)²+(1-e²)²]=4(1-e²)²
两边同除以(1-e²)²,由于(1-e²)²=(1+e)²(1-e)²,所以有：
(9/10){[(1+e)²+(1-e²)²]/(1+e)²}{[(1-e)²+(1-e²)²]/(1-e)²}=4
(9/10)[1+(1-e)²][1+(1+e)²]=4
化简得到e^4=4/9,所以e=√6/3