若点0和点F分别为椭圆x^2/2+y^2=1的中心和左焦点点P为椭圆上的任意一点则|0P|^2+|pF|^2的最小值为

Question

若点0和点F分别为椭圆x^2/2+y^2=1的中心和左焦点点P为椭圆上的任意一点则|0P|^2+|pF|^2的最小值为

Answer 1

a^2=2,b^2=1,因此 c^2=a^2-b^2=1 ,
则 F（-1,0）,
设 P（x,y）是椭圆上任一点,
那么 |OP|^2+|PF|^2=(x^2+y^2)+[(x+1)^2+(y-0)^2]
=2x^2+2x+2y^2+1
=2x^2+2x+2(1-x^2/2)+1
=x^2+2x+3
=(x+1)^2+2 ,
由 -√2≤x≤√2 知,当 x= -1 时,所求最小值为 2 .