圆与椭圆有很多类似的性质，如圆的面积为πr2（r为圆的半径），椭圆的面积为πab（a，b分别为椭圆的长、短半轴的长）．某同学研究了下面几个问题：（1）圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）处的切

题目详情

圆与椭圆有很多类似的性质，如圆的面积为πr²（r为圆的半径），椭圆的面积为πab（a，b分别为椭圆的长、短半轴的长）．某同学研究了下面几个问题：
（1）圆x²+y²=r²上一点（x₀，y₀）处的切线方程为x₀x+y₀y=r²，类似地，请给出椭圆

=1（a＞b＞0）上一点（x₀，y₀）处的切线方程（不必证明）；
（2）如图1，TA，TB为圆x²+y²=r²的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，则OP•OT=r²．如图2，TA，TB为椭圆

=1（a＞b＞0）上的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，请给出椭圆中的类似结论并证明．

（3）若过椭圆

=1（a＞b＞0）上外一点M（s，t）作两条直线与椭圆切于A，B两点，且AB恰好过椭圆的左焦点，求证：点M在一条定直线上．

▼优质解答

答案和解析

（1）椭圆

＝1(a＞b＞0)上一点（x₀，y₀）处的切线方程为

x0x

y0y

＝1…（2分）
（2）如图2，TA，TB为椭圆

＝1(a＞b＞0)的切线，A，B为切点，
OT与AB交于点P，则OP•OT=a²…（4分）
证明：设A（x₀，y₀），则直线AT的方程为

x0x

y0y

＝1．
令y=0，得x＝

，∴点T的坐标为(

，0)…（6分）
又点P的坐标为（x₀，0），∴OP•OT＝|

|•|x0|＝a2…（8分）
（3）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则点A处的切线方程为

x1x

y1y

＝1，点B处的切线方程为

x2x

y2y

＝1…（10分）
将点M（s，t）代入，得