设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上焦点是F1，过点P(3,4)和F1作直线PF1交椭圆于A，B两点，已知A(，)．(1)求椭圆E的方程；(2)设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点，求C点的坐标．

Question

设椭圆E： ＋ ＝1(a>b>0)的上焦点是F ₁ ，过点P(3,4)和F ₁ 作直线PF ₁ 交椭圆于A，B两点，已知A( ， )．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点C是椭圆E上到直线PF ₁ 距离最远的点，求C点的坐标．

Answer 1

设椭圆E： ＋ ＝1(a>b>0)的上焦点是F ₁ ，过点P(3,4)和F ₁ 作直线PF ₁ 交椭圆于A，B两点，已知A( ， )．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点C是椭圆E上到直线PF ₁ 距离最远的点，求C点的坐标．

（1） ＋x ² ＝1   （2）( ，－ )

(1)由A( ， )和P(3,4)可求直线PF ₁ 的方程为y＝x＋1．
令x＝0，得y＝1，即c＝1．
椭圆E的焦点为F ₁ (0,1)，F ₂ (0，－1)，由椭圆的定义可知．
2a＝|AF ₁ |＋|AF ₂ |
＝ ＋＝2 ．
∴a＝ ，b＝1，
所以椭圆E的方程为 ＋x ² ＝1．
(2)设与直线PF ₁ 平行的直线l：y＝x＋m．
，消去y得3x ² ＋2mx＋m ² －2＝0，
Δ＝(2m) ² －4×3×(m ² －2)＝0，
即m ² ＝3，∴m＝± ．
要使点C到直线PF ₁ 的距离最远，则直线l要在直线PF ₁ 的下方，所以m＝－ ．
此时直线l与椭圆E的切点坐标为( ，－ )，故C( ，－ )即为所求．