（文）设F1、F2分别为椭圆C：x2m2+y2n2=1（m＞0，n＞0且m≠n）的两个焦点．（1）若椭圆C上的点A（1，32）到两个焦点的距离之和等于4，求

Question

（文）设F ₁ 、F ₂ 分别为椭圆C： (x2)/(m2) +(y2)/(n2) =1 （m＞0，n＞0且m≠n）的两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1， (3)/(2) ）到两个焦点的距离之和等于4，求椭圆C的方程．
（2）如果点P是（1）中所得椭圆上的任意一点，且

P F 1

•

P F 2

=0 ，求△PF ₁ F ₂ 的面积．
（3）若椭圆C具有如下性质：设M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为K _QM 、K _QN ，那么K _QM 和K _QN 之积是与点Q位置无关的定值．试问：双曲线 (x2)/(a2) -(y2)/(b2) =1 （a＞0，b＞0）是否具有类似的性质？并证明你的结论．通过对上面问题进一步研究，请你概括具有上述性质的二次曲线更为一般的结论，并说明理由．

Answer 1

（1）当m＞n时，由椭圆定义得 2m=4，∴m=2（2分）
又点A（1， (3)/(2) ）在椭圆上  所以 (1)/(m2) +((9)/(4))/(n2) =1， ∴  n 2 =3
∴ (x2)/(4) +(y2)/(3) =1  （3分）
同理，当m＜n时，椭圆方程 (x2)/(3) +(y2)/(4) =1  （4分）
（2）当m＞n时，由椭圆定义得 PF ₁ +PF ₂ =2m，PF ₁ ² +PF ₂ ² =4
解得  PF ₁ PF ₂ =6             （8分）
所以△PF ₁ F ₂ 的面积为3
同理，当m＜n时，△PF ₁ F ₂ 的面积也为3   （10分）
（3）设M，N是双曲线 (x2)/(a2) -(y2)/(b2) =1 （a＞0，b＞0）上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为K _QM ，K _QN ，那么K _QM ，K _QN 之积是与点Q位置无关的定值．
设点M（x ₁ ，y ₁ ），N（-x ₁ ，-y ₁ ）．Q（x ₀ ，y ₀ ）
则 (x12)/(a2) -(y12)/(b2) =1 ， (x02)/(a2) -(y02)/(b2) =1
作差得 (( y1 - y0 )( y1 + y0 ))/(( x1 - x0 )( x1 + x0 )) =(b2)/(a2) （12分）
所以 K QM K QN =(b2)/(a2) （14分）
设M，N是二次曲线mx ² +ny ² =1上关于原点对称的两点，点Q是二次曲线上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为K _QM ，K _QN ，
那么 K QM K QN =-(m)/(n)      （15分）
证明  设点点M（x ₁ ，y ₁ ），N（-x ₁ ，-y ₁ ）．Q（x ₀ ，y ₀ ）
则mx ₁ ² +ny ₁ ² =1，mx ₀ ² +ny ₀ ² =1
作差得 (( y1 - y0 )( y1 + y0 ))/(( x1 - x0 )( x1 + x0 )) =-(m)/(n) ∴ K QM K QN =-(m)/(n)   （18分）