（2011•广东三模）设A，B分别为椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，C，D分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD的面积为43．（1）求椭圆的方程；（2）设Q为椭圆

Question

（2011•广东三模）设A，B分别为椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，C，D分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD 的面积为4√(3)．
（1）求椭圆的方程；
（2）设Q为椭圆上异于A、B的点，求证：直线QA与直线QB的斜率之积为定值；
（3）设P为直线x＝(a2)/(c) ．(a2＝b2+c2)上不同于点（(a2)/(c)，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．

Answer 1

（1）依题意得，a=2c，2ab＝4√(3)，a2＝b2+c2，∴a＝2，c＝1，b＝√(3)，∴椭圆的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1
（2）设Q（x，y），∵A（-2，0），B（2，0），∴KQA＝(y)/(x+2)，KQB＝(y)/(x−2)
∴KQA•KQB＝(y)/(x+2)•(y)/(x−2)＝−(3)/(4)，故得证．
（3）由（1）得 A（-2，0），B（2，0），设M（x₀，y₀）
∵M在椭圆上，∴

y

2 0

＝(3)/(4)(4−

x

2 0

)又点M异于顶点A，B，∴-2＜x₀＜2，由P，A，M三点共线可以得P(4，(6y0)/(x0+2))，∴

BM

＝(x0−2，y0)，

BP

＝(2，(6y0)/(x0+2))