关于椭圆斜率的问题过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,a,b>0上任意一点A(x0,y0)任意做2条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点求证直线BC定向且kBC=(b^2*x0)/(a^2*y0)

Question

关于椭圆斜率的问题
过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,a,b>0 上任意一点A(x0,y0)
任意做2条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点
求证 直线BC定向且kBC=(b^2 * x0)/(a^2 * y0)

Answer 1

【分析】
设AB斜率为k,则AC斜率为－k
然后得到AB的方程,联立这个方程与椭圆方程组成方程组,
消去y后,得到一个关于x的一元二次方程,
注意这个一元二次方程的一个根就是x＝x0（就是点A的横坐标）
然后这个方程的另一个根就是c/a了（两根之积为c/a）
这样另一个根就解出来了（是用k表示）
再代入直线方程,求出B的纵坐标.
当B的坐标出来之后,C的坐标只要用-k去代替点A坐标中的k就行了（它们的差别就是直线方程k变为－k,好好体会）
然后就能求出C的坐标了
B,C的坐标都出来了,再求出BC的斜率,你会发现k自然约去了,剩下为一个定值.
【解】
由已知,A(x0,y0),若AB的斜率为k,那么AC的斜率为-k.
其方程分别为：y=k(x-x0)+y0； y=-k(x-x0)+y0,
分别代入椭圆方程,得：
将y=k(x-x0)+y0与椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1联立得：
(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2(y0-kx0)kx0+[a^2(y0-kx0)^2-a^2b^2]=0,
注意这个一元二次方程的一个根就是x＝x0!（就是点A的横坐标）
因为两根之积是[a^2(y0-kx0)^2-a^2b^2]/ (b^2+a^2k^2),
所以另一根是x1=[a^2(y0-kx0)^2-a^2b^2]/[ (b^2+a^2k^2)x0],
这就是点B的横坐标.
C的横坐标只要用-k去代替点A坐标中的k就可以得到：
X2=[a^2(y0+kx0)^2-a^2b^2]/[ (b^2+a^2k^2)x0],
所以直线BC的斜率是
(y2-y1)/(x2-x1)=[-k(x2-x0)+y0- k(x1-x0)-y0]/ (x2-x1)
=[-k(x2+x1)+2kx0]/ (x2-x1)
将x1,x2的值代入,最后利用点A在椭圆上有b^2x0^2+a^2y0^2=a^2b^2可得：
kBC=(b^2 * x0)/(a^2 * y0).