关于椭圆的标准方程.要具体过程.1.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且绝对值F1F2=2√3,若绝对值PF1与绝对值PF2的等差中项为绝对值F1F2,则椭圆C的标准方程为2.已知△ABC的两个顶点

Question

关于椭圆的标准方程.要具体过程.
1.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且绝对值F1F2=2√3,若绝对值PF1与绝对值PF2的等差中项为绝对值F1F2,则椭圆C的标准方程为_________
2.已知△ABC的两个顶点为B(-4,0),C(4,-0),若顶点A在椭圆x²/25+y²/9=1上,则 (sinB+sinC)/sinA=_________
3.椭圆长轴与短轴之和为20,焦距为4√5,求椭圆方程.

Answer 1

1
半焦距为c=|F1F2|/2=√3,
长轴长度为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,则a=|F1F2|=2√3
椭圆C的标准方程为
x²/a² + y²/(a²-c²)=1
即
x²/12 + y²/9 =1
2
易知B和C就是椭圆x²/25+y²/9=1的两个焦点,
|BC|=8,
而|AC|+|AB|就等于椭圆的长轴的长,为2√25=10
由正弦定理知
(sinB+sinC)/sinA= sinB/sinA + sinC/sinA = |AC|/|BC| +|AB|/|BC| = (|AC|+|AB|)/|BC|
=10/8 = 5/4
3
2a+2b=20→ a+b=10 ——①
2c=4√5→c=2√5→a²-b²=c²=20 →(a+b)(a-b)=20 → a-b=20/(a+b)=2 ——②
由①与②组成的方程组解得
a=6,b=4
则椭圆方程是
x²/36 + y²/16 =1