（2011•天津）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆

Question

（2011•天津）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F₁，F₂分别为椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1的左、右焦点．已知△F₁PF₂为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF₂上的点，满足

AM

•

BM

＝−2，求点M的轨迹方程．

Answer 1

（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．
由题得|PF₂|=|F₁F₂|，即√((a−c)2+b2)=2c，整理得2((c)/(a))2+(c)/(a)-1=0，得(c)/(a)=-1（舍），或(c)/(a)=(1)/(2)，
所以e=(1)/(2)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=√(3)c，可得椭圆方程为3x²+4y²=12c²，直线方程为y=√(3)（x-c）．
A，B的坐标满足方程组

3x2+4y2＝12c2

y＝√(3)(x−c)

，
消y并整理得5x²-8xc=0，
解得x=0，x=

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