已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，短轴长为43．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P（2，3），Q（2．-3）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于

Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 (1)/(2) ，短轴长为4

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P（2，3），Q（2．-3）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ的斜率是否为定值，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C的方程为 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 （a＞b＞0）．
由已知b=2

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，离心率e= (c)/(a) = (1)/(2) ，a ² =b ² +c ² ，得a=4，
所以，椭圆C的方程为 (x2)/(16) +(y2)/(12) =1 ；
（Ⅱ）设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0
设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，
则PA的直线方程为y-3=k（x-2）代入椭圆方程，可得（3+4k ² ）x ² +8（3-2k）kx+4（3-2k） ² -48=0
∴ x 1 +2=(8(2k-3)k)/(3+4 k2)
同理 x 2 +2=(8(2k+3)k)/(3+4 k2)
∴x ₁ +x ₂ = (16 k2 -12)/(3+4 k2) ，x ₁ -x ₂ = (-48k)/(3+4 k2)
∴ k AB =(y1 - y2)/(x1 - x2) =(k( x1 + x2 )-4k)/(x1 - x2) =(1)/(2)
∴直线AB的斜率为定值 (1)/(2) ．