有关椭圆的问题,高分已知直线L过点D（-2,0）,且与椭圆x²／2+y²=1交于不同的两点A,B,若向量OP=向量OA+向量OB,求P的轨迹方程

Question

有关椭圆的问题,高分
已知直线L过点D（-2,0）,且与椭圆x²／2+y²=1交于不同的两点A,B,若向量OP=向量OA+向量OB,求P的轨迹方程

Answer 1

设直线l方程斜率一定存在,设为直线l：y=k(x+2),与x^2/2+y^2=1联立消去y得：
(1+2k²)x²+8k²x+8k²-2=0,由韦达定理可知：
x1+x2=-8k²/(1+2k²)
所以y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2+4)=4k/(1+2k²)
设点P坐标为(x,y),则x=x1+x2,y=y1+y2
x/y=[-8k²/(1+2k²)]/[4k/(1+2k²)]=-2k ①
又∵x=-8k²/(1+2k²)=-4+ 4/(1+2k²)
所以k(x+4)=4k/(1+2k²)=y ②
两式联立消去k得：(-x/2y)(x+4)=y
整理得到点P轨迹方程：(x+2)²/4 + y²/2 =1（-2＜x＜0）