已知抛物线y2=2px（p＞0），椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)，如图示，K为与焦点F对应的准线与x轴的交点，AB为过焦点的垂直于x轴的弦．（1）在抛物线中，已知∠AKB为

Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)，如图示，K为与焦点F对应的准线与x轴的交点，AB为过焦点的垂直于x轴的弦．
（1）在抛物线中，已知∠AKB为直角，则在椭圆和双曲线中∠AKB还为直角吗？试证明你的合情推理所得到的结论；
（2）在抛物线中，已知直线KA与抛物线只有一个公共点A，则在椭圆和双曲线中也有类似的性质吗？试选择椭圆证明你的类比推理．

Answer 1

（1）在椭圆中，K(−(a2)/(c)，0)，A(−c，(b2)/(a))，tan∠AKF＝((b2)/(a)−0)/(−c+(a2)/(c))＝(c)/(a)＝e＜1，
∴∠AKF＜45⁰，
得∠AKB=2∠AKF为锐角；                                        
同样，在双曲线中，K((a2)/(c)，0)，A(c，(b2)/(a))，tan∠AKF＝((b2)/(a)−0)/(c−(a2)/(c))＝(c)/(a)＝e＞1，
∴∠AKF＞45⁰，
从而∠AKB=2∠AKF为钝角．                                      
（2）在椭圆和双曲线中有相同的性质．
在椭圆中同（1）可知直线KA的斜率是离心率e，
直线KA的方程为y＝(c)/(a)(x+(a2)/(c))，代入b²x²+a²y²=a²b²，得x²+2cx+c²=0，
△=0，x₁=x₂=-c，∴直线KA与椭圆只有一个公共点A．