如图所示，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点A（1，32）在椭圆上．（1）求椭圆方程；（2）点M（x0，y0）在圆x2+y2=b2上，点M在第一象限，过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P

Question

如图所示，已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（1，0），点A（1，(3)/(2)）在椭圆上．

（1）求椭圆方程；
（2）点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=b²上，点M在第一象限，过点M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P、Q两点，问|

F2P

|+|

F2Q

|+|

PQ

|是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．

Answer 1

（1）∵右焦点为F₂（1，0），∴c=1
∴左焦点为F₁（1，0），点H（1，(3)/(2)）在椭圆上，
∴2a=|HF₁|+|HF₂|=4，
∴a=2，
∴b=√(a2−c2)=√(3)
∴椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1----------------（5分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），(x12)/(4)+(y12)/(3)＝1（|x₁|≤2）
∴|PF₂|²=（x₁-1）²+y₁²=(1)/(4)（x₁-4）²，
∴|PF₂|=2-(1)/(2)x₁，------------------------（8分）
连接OM，OP，由相切条件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-3=(1)/(4)x₁²，
∴|PM|=(1)/(2)x₁，
∴|PF₂|+|PM|=2----------------------------------（11分）
同理可求|QF₂|+|QM|=2
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=4为定值．-------------（13分）