椭圆离心率设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2FB.求椭圆C的离心率.如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程、第一小问，有一种不用

Question

椭圆 离心率
设椭圆C :x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2FB.
求椭圆C的离心率.
如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程、
第一小问，有一种不用求出x1,x2的求法，是怎么求滴？

Answer 1

（1）设椭圆的右准线为l.设|FB|=m,则|FA|=2m.
过A、B两点向准线l作垂线AC、BD,
由椭圆第二定义知：|AC|=1/e|FA|=2m/e,|BD|=1/e |FB|=m/e
（e为椭圆的离心率）,
过B作BE⊥AC,E为垂足.
|AE|=|AC|-|CE|=1/e |AC|-1/e |BD|=2m/e - m/e = m/e .
|AB|=|FA|+|FB|=3m.
直线的斜率k= tan∠AFx= tan∠BAE=√3.
∠BAE=60°,则|AB|=2|AE|,
3m=2 ×m/e,
所以e=2/3.
（2）这个小题可采用一楼的解法
|AB|=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)|3y2|
因为e=2/3,所以c=2/3a,b=√5/3a,代入y2=(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)
所以y2=5 √3/24a
|AB|=√(1+1/k^2)|3y2|=(2√3/3)| 5 √3/8 a |=5/4a=15/4,
所以a=3,b=√5
所以x^2/9+y^2/5=1
下面是两道类似的题目,仅供参考：
已知直线y=k(x+2) (k＞0）与抛物线C:y²=8x相较于AB两点,F为C的焦点.FA=2FB
则K的值为多少?
设抛物线的准线为l:x=-2.设|FB|=m,则|FA|=2m.
过A、B两点向准线l作垂线AC、BD,
由抛物线定义知：|AC|=|FA|=2m,|BD|=|FB|=m,
过B作BE⊥AC,E为垂足.
|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=2m-m=m.
|AB|=|FA|+|FB|=3m.
在直角三角形AEB中,|BE|=√(|AB|²-|AE|²)=2√2m,
tan∠BAE=|BE|/|AE|=2√2,
直线的斜率k= tan∠AFx= tan∠BAE=2√2.
已知双曲线C;x²/a²-y²/b²=1（a＞0,b＞0）的右焦点为点F,过F且斜率 为√3的直线交双曲线右支于A、B两点,若AF=4FB,则C的离心率为多少?
设双曲线的准线为l.设|FB|=m,则|FA|=4m.
过A、B两点向准线l作垂线AC、BD,
由双曲线第二定义知：|AC|=1/e|FA|=4m/e,|BD|=1/e |FB|=m/e
（e为双曲线的离心率）,
过B作BE⊥AC,E为垂足.
|AE|=|AC|-|CE|=1/e |AC|-1/e |BD|=4m/e - m/e = 3m/e .
|AB|=|FA|+|FB|=5m.
直线的斜率k= tan∠AFx= tan∠BAE=√3.
∠BAE=60°,则|AB|=2|AE|,
5m=2 ×3m/e,
所以e=6/5.