椭圆中心为原点O.e为2分之根号2.准线方程为2根号2.设动点满足向量OP=OM+2ON.M.N在椭圆上.OM与ON斜率积为-1/2.是否存在F1,F2.使|PF1|+|PF2|为定值.若存在,求F1F2两点坐标.不存在,说明理由.那个p所在椭

Question

椭圆中心为原点O.e为2分之根号2.准线方程为2根号2.设动点满足向量
OP=OM+2ON.M.N在椭圆上.OM与ON斜率积为-1/2.是否存在F1,F2.使|PF1|+|PF2|为定值.若存在,求F1F2两点坐标.不存在,说明理由.
那个p所在椭圆的方程怎么设 求 出来.求讲解.

Answer 1

椭圆中心为原点O.e为2分之根号2.准线方程为2根号2.设动点满足向量OP=OM+2ON.M.N在椭圆上.OM与ON斜率积为-1/2.是否存在F1,F2.使|PF1|+|PF2|为定值.若存在,求F1F2两点坐标.不存在,说明理由.
解析：∵√(a^2-b^2)/a=√2/2,a^2/c=a^2/√(a^2-b^2)=2√2,
∴a=2,b=√2,
∴椭圆方程为：x^2/4+y^2/2=1==>x^2+2y^2=4．
设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2)
∵向量OP=OM+2ON,
∴(x,y)=(x1+2x2,y1+2y2)==>x=x1+2x2,y=y1+2y2,
∵M、N是椭圆上的点,
∴x1^2+2y1^2-4=0,x2^2+2y2^2-4=0．∴x^2+2y^2=(x1+2x2)^2+2(y1+2y2)^2
=(x1^2+2y1^2)+4(x2^2+2y2^2)+4(x1x2+2y1y2)
=20+4(x1x2+2y1y2)．
∵直线OM与ON的斜率之积为-1/2,
∴y1/x1*y2/x2=-1/2==>x1x2=-2y1y2,
∴x^2+2y^2=20,
即动点P的轨迹是椭圆：x^2/20+y^2/10=1
其焦点为F1(-√10,0),F2(√10,0),准线l：x=2√10,e=√2/2,
故存在点F1(-√10,0),F2(√10,0),满足使|PF1|+|PF2|为定值．