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如图，焦距为2的椭圆D的两个顶点分别为A和B，且AB与n＝(2，−1)共线．（Ⅰ）求椭圆D的标准方程；（Ⅱ）过点M（0，m）且斜率为2的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过
题目详情
如图，焦距为2的椭圆D的两个顶点分别为A和B，且| AB |
| n |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆D的标准方程；
（Ⅱ）过点M（0，m）且斜率为
| 2 |
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为
+
＝1 (a＞b＞0)，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴
＝(−a，b)，
∵
与
＝(
，−1)共线，
∴a＝
b，又a2-b2=1（3分）
∴a2=2，b2=1，
∴椭圆E的标准方程为
+y2＝1（5分）
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
把直线方程y＝
x+m代入椭圆方程
+y2＝1，
消去y，得，5x2+4
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴
| AB |
∵
| AB |
| n |
| 2 |
∴a＝
| 2 |
∴a2=2，b2=1，
∴椭圆E的标准方程为
| x2 |
| 2 |
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
把直线方程y＝
| 2 |
| x2 |
| 2 |
消去y，得，5x2+4
|
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