设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上任意两点，且，已知M的横坐标为．（1）求证：M点的纵坐标为定值；（2）若，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；（3）已知，其中n∈

Question

设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ）是函数 的图象上任意两点，且 ，已知M的横坐标为 ．
（1）求证：M点的纵坐标为定值；
（2）若 ，其中n∈N ^* ，且n≥2，求S _n ；
（3）已知 ，其中n∈N ^* ，T _n 为数列{a _n }的前n项和，T _n ＜λ（S _n+1 +1），对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件知M是AB的中点，由中点坐标公式可以求出M点的给坐标．（2）=，即以上两式相加后两边再同时除以2就得到Sn．（3）当n≥2时，根据题设条件，由Tn＜λ（Sn+1+1）得，∴，再由均值不等式求出λ的取值范围．（1）∵∴M是AB的中点，设M点的坐标为M（x，y），由，得x1+x2=1，则x2=1-x1而=∴M点的纵坐标为定值（2）由（1）知若x1+x2=1则f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，=即以上两式相加得：═∴（3）当n≥2时，∴Tn=a1+a2+…+an==由Tn＜λ（Sn+1+1）得∴∵，当且仅当n=2时“=”成立∴．因此，即λ的取值范围为点评：本题考查了中点坐标公式、数列求和、均值不等式、对数性质等知识点，难说度较大，解题时要认真审题，仔细作答．