如图,△ABC中,AB=BC=AC=6cm,现有两动点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为0.5cm/s,点N的速度为1cm/s,当点N第一次到位B点时,点M、N同时停止运动.（1）点M、N运动几秒后,M、N两

Question

如图,△ABC中,AB=BC=AC=6cm,现有两动点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,
已知点M的速度为0.5cm/s,点N的速度为1cm/s,当点N第一次到位B点时,点M、N同时停止运动.
（1）点M、N运动几秒后,M、N两点重合?
（2）点M、N运动几秒后,可得到等边△AMN?
(3)当点M、N在BC上运动时,能否得到以MN为底的等腰三角形AMN?如存在,请求出此时点M、N运动的时间.

Answer 1

(1)设t秒后重合.
由题意,可得需使M运动路程+AB=N运动路程.
∴2t＝t+12
解得t＝12.
∴点M、N运动12秒后,M、N两点重合（于C）.
（2）成等边三角形时AM=AN=MN,即△AMN与△ABC相似.
设t秒后成等边三角形.
N经过A之前：
当△AMN∽△ACB时：
由AM/AC=AN/AB
得t/12=(12-2t)/12
解得t=4.
N经过A之后：
M、N在AC上时,∠MAN=0°,不满足△AMN与△ABC相似的条件.
M、N两点重合于C后,再运动直至停止,由于M、N距离总小于CB长,∠MAN总小于60°,不满足△AMN与△ABC相似的条件.
综上,点M、N运动4秒后,可得到等边三角形△AMN.
.
（3）存在.
设t秒后成等腰三角形.
由点M、N在BC边上运动,
则以MN为底边的等腰三角形只能为△AMN,不存在△BMN、△CMN.
∵以MN为底边
∴AM=AN.
由M比N运动的慢,可得存在时：
∵∠B=∠C,AB=AC,AM=AN
∴△ACM≌△ABN
∴CM=BN
由12s后M、N重合于C可得：
1*（t-12)=12-2*(t-12)
解得t=16.
∴当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形.此时M、N运动的时间为16秒.