1.α,β是方程x^2-2ax+(4a^2-24)=0(α∈R)的两个实根,求(α-1)^2+(β-1)^2的最小值.2.x>0,y≥0,且x+2y=1/2,求m=log以1/2为底的（8xy+4y^2+1)的最小值.

Question

1.α,β是方程x^2-2ax+(4a^2-24)=0(α∈R)的两个实根,求(α-1)^2+(β-1)^2的最小值.
2.x>0,y≥0,且x+2y=1/2,求m=log以1/2为底的（8xy+4y^2+1)的最小值.

Answer 1

（1）
a,b是方程x^2-2cx+(4c^2-24)=0(c∈R)的两个实根
所以 (-2c)^2-4(4c^2-24)≥0 ,a+b=2c,ab=4c^2-24,
解的-2*2^(1/2)≤c ≤ 2*2^(1/2)
(a-1)^2+(b-1)^2=(a+b-1)^2-2ab+1=(2c-1)^2-2(4c^2-24)+1
=51-(2c-1)^2
又-2*2^(1/2)≤c ≤ 2*2^(1/2)
所以 -4*2^(1/2)-1≤2c-1 ≤ 4*2^(1/2)-1
所以 0≤(2c-1)^2≤33-8*2^1/2
所以(a-1)^2+(b-1)^2的最小值为
51-(33-8*2^1/2)=18+8*2^1/2
(2)x+2y=1/2,
所以
8xy+4y^2+1=（x+2y）^2+4xy-x^2+1
=-x^2+4xy+5/4
=-x^2+2x(1/2-x)+5/4
=x^2-x+5/4
=(x-1/2)^2+1
又x>0,y≥0,且x+2y=1/2
所以
0＜x≤1/2
所以
0≤(x-1/2)^2＜1/4,
所以
1≤(x-1/2)^2+1＜5/4
即
1≤8xy+4y^2+1＜5/4
所以
m=log以1/2为底的（8xy+4y^2+1)的最小值是
m=log以1/2为底的1
=0