已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证：OG⊥BC注：用向量解

Question

已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠ BOC =∠ AOC且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证：OG⊥BC
注：用向量解

Answer 1

设OA＝a（向量）,OB＝b,OC＝c.从,∠AOB=∠ BOC =∠ AOC且OA=OB=OC.
有：a·b＝b·c＝a·c,a²＝b²＝c²
BC＝c-b.MN＝MB+BC/2＝（b-a/2）+（c-b）/2＝（-a+b+c）/2.
OG＝OM+MN/2＝a/2+（-a+b+c）/4＝（a+b+c）/4.
OG·BC＝（a+b+c）·（c-b）/4＝[c·a+c·b+c²-b·a-b²-b·c]/4＝0
∴OG⊥BC.