∑(n=1→∞)1/(an^2+bn+c)^α(a>0)的敛散性

Question

∑(n=1→∞)1/(an^2+bn+c)^α(a>0)的敛散性

Answer 1

1/(an^2+bn+c)^α = 1/n^(2α)·1/(a+b/n+c/n^2)^α.
当n趋于无穷时,1/(a+b/n+c/n^2)^α收敛到1/a^α > 0.
因此1/(an^2+bn+c)^α与1/n^(2α)是同阶无穷小.
根据比较判别法,
正项级数∑1/(an^2+bn+c)^α与∑1/n^(2α)敛散性相同.
而后者作为p-级数,当2α > 1时收敛,2α ≤ 1时发散.
因此∑1/(an^2+bn+c)^α也在α > 1/2时收敛,α ≤ 1/2时发散.