设函数y=y（x）由方程ylny-x+y=0确定，试判断曲线y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性．

Question

设函数y=y（x）由方程ylny-x+y=0确定，试判断曲线y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性．

Answer 1

方程 ylny-x+y=0两边对x求导得
y′lny+y(y′)/(y)-1+y′=0，
∴y'（2+lny）=1
代入x=1，y=1
则y′(1)=(1)/(2)．
上式两边再对x求导得y″(2+lny)+((y′)2)/(y)=0
代入x=1，y=1，y′(1)=(1)/(2)．
则y″(1)=-(1)/(8)，所以曲线y=y（x）在点（1，1）附近是凸的．