定积分的问题求c的值,使∫(0,1)(x^2+cx+c)^2dx的值最小..∫(0,1)就相当于区间0到1的积分了...有没有简便点的方法?我说的是简便的,哪怕没学过的...

Question

定积分的问题
求c的值,使 ∫(0,1) (x^2+cx+c)^2 dx的值最小..
∫(0,1)就相当于区间0到1的积分了...
有没有简便点的方法?
我说的是简便的,哪怕没学过的...

Answer 1

先把(x^2+cx+c)^2 展开为x^4+2cx^3+(2c+c^2)x^2+2c^2x+c^2,
在区间（0,1）内求x^4+2cx^3+(2c+c^2)x^2+2c^2x+c^2的定积分
结果为x^4+2cx^3+(2c+c^2)x^2+2c^2x+c^2在（0,1）上值的差,
结果为（7/3）*c^2+(7/6)*c+1/5,此为二元函数,求其最小值.
即对（7/3）*c^2+(7/6)*c+1/5关于c求导,当其导数为0时,即为最小值点
当c=-1/4时,该定积分最小值为13/240.
不过我没有仔细算,结果不知道是否正确,你自己按方法算一下咯.