设关于x的实系数不等式（ax+3）（x2-b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则a2b=．

Question

设关于x的实系数不等式（ax+3）（x²-b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则a²b=___．

Answer 1

∵（ax+3）（x²-b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴当x=0时，不等式等价为-3b≤0，即b≥0，
当x→+∞时，x²-b>0，此时ax+3<0，则a<0，
设f（x）=ax+3，g（x）=x²-b，
若b=0，则g（x）=x²>0，
函数f（x）=ax+3的零点为x=-(3)/(a)，则函数f（x）在（0，-(3)/(a)）上f（x）>0，此时不满足条件；
若a=0，则f（x）=3>0，而此时x→+∞时，g（x）>0不满足条件，故b>0；
∵函数f（x）在（0，-(3)/(a)）上f（x）>0，则（-(3)/(a)，+∞））上f（x）<0，
而g（x）在（0，+∞）上的零点为x=√(b)，且g（x）在（0，√(b)）上g（x）<0，
则（√(b)，+∞）上g（x）>0，
∴要使（ax+3）（x²-b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
则函数f（x）与g（x）的零点相同，即-(3)/(a)=√(b)，
∴a²b=9．
故答案为：9．