设3阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为P1=[1,1,1]',求A.

Question

设3阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为P1=[1,1,1]',求A.

Answer 1

根据实对称阵性质,属于不同特征值的特征向量正交.
设属于3的特征向量为(a,b,c)' 正交于(1,1,1)'
即有a+b+c=0,它的两个线性无关解为(-1,1,0)'和(-1,0,1)'
刚好是属于3的两个线性无关特征向量
(-1,1,0)'和(-1,0,1)'经过施密特正交化方法得：
(-1,1,0)'和(-1/2,-1/2,1)
再将三个特征向量单位化得：
(1/√3,1/√3,1/√3)'
(-1/√2,1/√2,0)'
(-1/√6,-1/√6,√6/3)'
设上面的矩阵为P'
那么
A=P*diag(6,3,3)*P'=
[4,1,1
1,4,1
1,1,4]