函数f（x）的定义域为R，且f(x)＝2−x−1(x≤0)f(x−1)(x＞0)，若方程f（x）=x+a有两个不同实根，则a的取值范围是．

Question

函数f（x）的定义域为R，且f(x)＝

2−x−1(x≤0)

f(x−1)(x＞0)

，若方程f（x）=x+a有两个不同实根，则a的取值范围是______．

Answer 1

①当x≤0时，f（x）=2^-x-1，
②当0＜x≤1时，-1＜x-1≤0，f（x）=f（x-1）=2^-（x-1）-1．
当1＜x≤2时，-1＜x-2≤0，f（x）=f（x-1）=f（x-2）=2^-（x-2）-1．
故x＞0时，f（x）是周期函数，如图，
欲使方程f（x）=x+a有两解，
即函数f（x）的图象与直线y=x+a有两个不同交点，
所以a＜1．

故答案为：a＜1．