设A，B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于常数a，B的特征值全大于常数b，证明：（Ⅰ）任意两个同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵；（Ⅱ）A+B的特征值全大于a+b．

Question

设A，B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于常数a，B的特征值全大于常数b，证明：
（Ⅰ）任意两个同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵；
（Ⅱ）A+B的特征值全大于a+b．

Answer 1

证：
（Ⅰ）
设A₁，A₂是两个n阶正定矩阵，
则：（A₁+A₂）^T=A1T+A2T＝A1+A2，
又：∀X∈Rⁿ，X≠0，
则：XT(A1+A2)X＝XTA1X+XTA2X＞0，
故任意两个同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵．

（Ⅱ）
依题设知：A-aE，B-bE均为正定矩阵，
则由（Ⅰ）知其和也正定，
而：（A-aE）+（B-bE）=（A+B）-（a+b）E，
设A+B的特征值为λ，
则A+B-（a+b）E的特征值为λ-（a+b）E，
由于A+B-（a+b）E正定，从而对应的特征值：λ-（a+b）＞0，
故：λ＞a+b．