已知关于x的方程（t+1）cosx-tsinx=t+2在（0，π）上有实根．则实数t的最大值是．

Question

已知关于x的方程（t+1）cosx-tsinx=t+2在（0，π）上有实根．则实数t的最大值是___．

Answer 1

∵（t+1）cosx-tsinx=t+2，
∴t=(2-cosx)/(cosx-sinx-1)，
令f（x）=(2-cosx)/(cosx-sinx-1)，
则f′（x）=(sinx(cosx-sinx-1)-(2-cosx)(-sinx-cosx))/((cosx-sinx-1)2)=(sinx+2cosx-1)/((cosx-sinx-1)2)，
令g（x）=sinx+2cosx-1，则g′（x）=cosx-2sinx，
∴当x=arctan(1)/(2)时，g′（x）=0，当0<x<arctan(1)/(2)时，g′（x）>0，当arctan(1)/(2)<x<π时，g′（x）<0，
∴g（x）在（0，arctan(1)/(2)）上单调递增，在（arctan(1)/(2)，π）上单调递减，
又g（0）=1，g（π）=-3，
∴g（x）在（0，π）上只有一个零点，又g′（(π)/(2)）=0，
∴当0<x<(π)/(2)时，g（x）>0，当(π)/(2)<x<π时，g（x）<0，
∴当0<x<(π)/(2)时，f′（x）>0，当(π)/(2)<x<π时，f′（x）<0
∴f（x）在（0，(π)/(2)）上单调递增，在（(π)/(2)，0）上单调递减，
∴当x=(π)/(2)时，f（x）取得最大值f（(π)/(2)）=-1．
∴t的最大值为-1．
故答案为-1．