设随机变量X～N（μ，σ2），且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5，则μ=．

Question

设随机变量X～N（μ，σ²），且二次方程y²+4y+X=0无实根的概率为0.5，则μ=______．

Answer 1

设事件A表示“二次方程y²+4y+X=0无实根”，
则A={16-4X＜0}={X＞4}．
依题意，有P(A)＝P{X＞4}＝(1)/(2)．
设Φ₀（x）为标准正态分布函数在x处的值，
由X～N（μ，σ²），得：
(X−μ)/(σ)～N（0，1），
而：P{X＞4}＝1−P{X≤4}＝1−Φ0((4−μ)/(σ))，
即：1−Φ0((4−μ)/(σ))＝(1)/(2)，
∴Φ0((4−μ)/(σ))＝(1)/(2)，
则：(4−μ)/(σ)＝0．
解得：μ=4．