证明4arctanx-x+4π3-3=0恰有2实根．

Question

证明4arctanx-x+(4π)/(3)-√(3)=0恰有2实根．

Answer 1

证明：令f(x)＝4arctanx−x+(4π)/(3)−√(3)
极值点：
f′(x)＝(4)/(1+x2)−1＝0⇒x＝±√(3)
∵x∈(−∞，−√(3))，f'（x）＜0，x∈(−√(3)，√(3))，f'（x）＞0，x∈（√(3)，+∞），f（x）＜0
∴x＝−√(3)是极小值点，x＝√(3)是极大值点
f(−√(3))＝−(4π)/(3)+√(3)−(4π)/(3)−√(3)＝0
f(√(3))＝(4π)/(3)−√(3)+(4π)/(3)−√(3)＝(8π−6√(3))/(3)＞0
又：

lim

x→∞

f(x)＝−∞，根据介值定理，∃η∈（√(3)，+∞），使得f（η）=0成立，而且f（x）在（√(3)，+∞）上单调递减，故η唯一
综上，方程恰好有两根