若方程a0x^n+a1x^n-1+...+an-1x=0有一正根x=x0,证明：a0nx^n-1+..an=0至少有个实根小于x0

Question

若方程a0x^n+a1x^n-1+...+an-1x=0 有一正根x=x0,证明：a0nx^n-1+..an=0至少有个实根小于x0

Answer 1

设f(x)=a0x^n+a1x^n-1+...+an-1x
因a0x^n+a1x^n-1+...+an-1x=0 有一正根x=x0
故f(x0)=0,f(0)=0
而f(x)是多项式函数,在闭区间[0,x0]连续,在开区间(0,x0)可导.由罗尔中值定理,在区间(0,x0)至少存在c,f'(c)=0
而：f‘(x)=a0nx^(n-1)+a1(n-1)x^(n-2)+...an,由于f'(c)=0
即：a0nx^n-1+..an=0至少有个实根小于x0