试证明：被凸四边形两条对角线分成的三角形中,两个相对三角形的面积的乘积等于另外两个相对三角形的面积的乘积.

Question

试证明：被凸四边形两条对角线分成的三角形中,两个相对三角形的面积的乘积等于另外两个相对三角形的面积的乘积.

Answer 1

画凸四边形ABCD,连接对角线,焦点为O
以BD为底边,分别由A,C引垂线至BD,A至BD的距离为H1,C至BD的距离为H2
则四个三角形的面积分别是
2△ABO=BO*H1
2△CDO=DO*H2
2△ADO=DO*H1
2△BCO=BO*H2
则
2△ABO*2△CDO
=BO*H1*DO*H2
2△ADO*2△BCO
=DO*H1*BO*H2
BO*H1*DO*H2=DO*H1*BO*H2
所以△ABO*△CDO=△ADO*△BCO
所以：被凸四边形两条对角线分成的三角形中,两个相对三角形的面积的乘积等于另外两个相对三角形的面积的乘积