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(1)如图1,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,试判断△ABC与△AEG面积之间的关系,并说明理由.(2)园林小路,曲径通幽,如图2所示,小路由白色的正方形

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(1)如图1,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,试判断△ABC与△AEG面积之间的关系,并说明理由.
(2)园林小路,曲径通幽,如图2所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米,内圈的所有三角形的面积之和是b平方米,这条小路一共占地多少平方米.
▼优质解答
答案和解析
(1)△ABC与△AEG面积相等.
理由:过点C作CM⊥AB于M,过点G作GN⊥EA交EA延长线于N,则∠AMC=∠ANG=90°,
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形,
∴∠BAE=∠CAG=90°,AB=AE,AC=AG,
∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°,
∴∠BAC+∠EAG=180°,
∵∠EAG+∠GAN=180°,
∴∠BAC=∠GAN,
在△ACM和△AGN中,
∠MAC=∠NAG
∠AMC=∠ANG
AC=AG

∴△ACM≌△AGN,
∴CM=GN,
∵S△ABC=
1
2
AB•CM,S△AEG=
1
2
AE•GN,
∴S△ABC=S△AEG
(2)由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和.
∴这条小路的面积为(a+2b)平方米.
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