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设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,又设f(x)只取有理数,且f(1/2)=2,试证在闭区间[0,1]上,f(x)恒等于2.
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设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,又设f(x)只取有理数,且f(1/2)=2,试证在闭区间[0,1]上,f(x)恒等于2.
▼优质解答
答案和解析
闭区间上的连续函数必有最大值M和最小值m,值域为[m M].若函数值只取有理数,则m=M,否则在区间【m M】中的无理数是函数值.再由f(1/2)=2知m=M=2.
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