ATAx=0与Ax=0同解这个可以证出但是反过来想ATAx=0的如果是Ax=0的解那么ATX=0不就只有零解了这样对吗怎么破AT是A的转置

Question

ATAx=0与Ax=0同解 这个可以证出但是反过来想ATAx=0的如果是Ax=0的解
那么ATX=0不就只有零解了 这样对吗 怎么破 AT是A的转置

Answer 1

首先,Ax=0并不一定得到x=0,因为A的所有列向量不一定都是线性无关的.只要A的某一个列向量可以由其他列向量线性表出,那么A的null space就含有非零解,即存在非零的x,使得Ax=0成立.
所以,ATAx＝0与Ax=0同解只是证明了它们有相同的解集,但并不能证明它们的解集只含有唯一的元素x=0.如果加个条件,比如A是满秩的方阵,那么ATAx＝0与Ax=0都只有唯一解,是x=0.