设f（x）在[0，1]上连续，且0≤f（x）≤1，试证在[0，1]内至少存在一个ξ，使f（ξ）=ξ．

Question

设f（x）在[0，1]上连续，且0≤f（x）≤1，试证在[0，1]内至少存在一个ξ，使f（ξ）=ξ．

Answer 1

证明：（反证法） 反设∀x∈[0，1]，辅助函数φ（x）=f（x）-x≠0．
∵f（x）为连续函数，
∴φ（x）=f（x）-x也为连续函数
∴φ（x）在区间[0，1]上的值域为连续区间[m，M]，即最大值M最小值m．
∵φ（x）≠0，即0不包含在区间[m，M]中，
∴m≤M＜0，或0＜m＜M
∴φ（x）恒大于0或恒小于0．
不妨设∀x∈[0，1]，φ（x）=f（x）-x＞0．令m=

min

0≤x≤1

φ（x），则m＞0．
因此∀x∈[0，1]，φ（x）=f（x）-x≥m．于是f（1）≥1+m＞1，
与f（x）＜1矛盾．
所以在[0，1]内至少存在一个ξ，使f（ξ）=ξ．